浅谈“隐圆”那点事
四川省广安第二中学校 方世娟
圆是一种对称而优美的曲线，从而使得圆成为高中数学教学中数形结合思想的典型实例。近几年又出现了这样一类有关圆的题型，在题目条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目的已知条件中，需要我们通过对已知条件的分析和转化，才能发现圆，并可以利用圆的相关知识来求解。我们把这类题型称为“隐圆”问题。
“隐圆”题型，构思新颖，巧妙，往往以动态问题出现，大多综合性较强，综合考查了点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系等，其中还涉及到数形结合，转化和化归等重要的数学思想。而解决这类题型的关键在于，能否成功找出题目中的“隐圆”。
由于“隐圆”题型的高频率出现，使得我对它格外钟情，在这几年的数学教学中，我收集整理了大量有关“隐圆”的题型，从而总结出了一些寻找“隐圆”的有效方法。接下来，我将用实例来谈谈这些有效的方法。
第一类型：利用圆的定义或圆的几何性质寻找圆。
（1）根据圆的定义；
（2）根据定弦对定角（正弦定理）；
（3）根据内对角互补的四边形的四个顶点共圆；
（4）根据直径所对圆周角等于九十度（若线段AB为直径，当点P在圆内时，
为钝角，当点P在圆外时，为锐角）。
例1.在 .
分析：解三角形中的“隐圆”问题，由定边定角联想到圆。
解：(如图）因为
所以由正弦定理可知：的外接圆半径为定值，
结合已知条件可知：
当三角形ABC是正三角形时，面积最大，最大值为
例2.已知等边三角形ABC 的边长为4，在三角形ABC内有一点P，满足，则线段PC的长度的最小值为多少？
分析：本题是“定弦对定角”模型，同时利用圆周角性质，圆内接四边形的内对角互补等解题。
解：（如图）设的外接圆圆心为O，则P的轨迹是圆O在内那一段弧，于是
的外接圆半径为,由正弦定理得：
设线段AB的中点为M,
又由已知： 结合圆内接四边形的内对角互补和圆周角性质可知：
例3.(2014年高考四川卷文科9改编题)
已知直线的交点为，线段是圆的一条动弦，且则的最小值为？
分析：本题有两个“隐圆”，一个利用直径所对圆周角等于九十度，一个利用圆的定义寻找圆，最后考查两个圆的位置关系。
解：（如图）由题意知过定点，过定点且 又与的交点为
则的轨迹是为直径的圆，去掉点，
于是的轨迹方程为圆
设线段的中点为，则
于是点M的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，其轨迹方程为
圆
又
例4.已知两点是圆上的两动点，且
M为弦的中点，，当在圆上运动时，
始终有为锐角，则实数的取值范围为： .
分析：本题利用圆的定义发现圆，再利用圆周角性质（若线段AB为直径，当点P在圆内时，为钝角，当点P在圆外时，为锐角）确定另一个圆，最后考查圆与圆的位置关系。
解：由圆中的弦长公式得：
所以点M是在以O为圆心，2为半径的圆上的点，
设的中点为且，
若为锐角，则M在以为直径的圆外
以为直径的圆的圆心为，半径为1
或
第二类型：利用阿氏圆模型寻找圆。
在平面上给定两个不同的点A,B，设点P在同一个平面上且满足, ，
当 且 时，点P的轨迹是圆，这个圆我们称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。
例5.已知椭圆，其离心率为，A，B是椭圆E长轴的两个端点，C,D为椭圆E短轴的端点，动点P满足,记的面积的最大值为，记的面积的最小值为,则 .
分析：已知条件 是阿氏圆模型标志，其中A,B 是两个定点，由此找到圆，再结合椭圆几何性质解题。
解：设由题意得的轨迹方程为：
例6.已知圆C：，斜率为的直线过点，过上一点P作圆C的切线，切点为T，若,则实数的取值范围为多少？
分析：已知条件 是阿氏圆模型标志，其中点A是定点，点T是圆C上的动点，从而找到圆，接下来考查直线与圆的位置关系。
解:（如图）由已知，
设则,
化简整理得：
即
的轨迹是以为圆心，为半径的圆。
解得 ：
的取值范围为.
第三类型：解析法与“隐圆”。
（1）建立平面直角坐标系，求出动点轨迹方程发现圆；
（2）两种常见模型：
①两定点A,B，动点P满足是定值，P的轨迹是圆，从而确定圆；
②两定点A,B，动点P满足是定值，P的轨迹是圆，从而确定圆.
例7.（2008年高考江苏卷13题改编）在中，，
是上一点，且,则的面积的最大值为 ，当的面积取最大值时， .
分析：本题是用解析法解决三角形问题的典型题型，通过建系求出点C的轨迹方程，发现圆。
解：（如图）
由得，
以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系则,设
则C的轨迹方程为：
整理得
的轨迹是以为圆心，为半径的圆，除去轴的交点。
此时
在中，由余弦定理得：
例8.在平面直角坐标系中，点点在圆上，且点满足,则的坐标为 .
分析：本题点P满足是定值20，所以P的轨迹是圆，从而确定圆，再考查两圆交点问题。
解：设，则由题意得：
点在圆：上
点是两圆的公共点
由
故P点坐标为,.
例9.在平面直角坐标系中，,若在直线上存在点使得,则实数的取值范围为 .
分析：本题点P满足是定值18，P的轨迹是圆，从而确定圆，再考查直线与圆的位置关系。
解：设点的坐标为，由题意得：
化简整理得：
点P在以C（1,2）为圆心，2为半径的圆周上，由题意得：与圆C有公共点，则
解得：
第四类型：三角代换与“隐圆”（圆的参数方程）。
例10.已知，则的取值范围是？
解：设，则表示PQ两点的距离的平方，P在圆上，点Q在直线上，又原点到直线的距离
则的取值范围是.
例11.记，则的最大值为 .
分析：其中的图形是半圆，由此发现圆，再三角换元解决问题。
解：设
时，
第五类型：平面向量中的“隐圆”。
例12.已知向量与的夹角为，若向量满足，则的最大值为 .
解：（如图）设
表示两个向量的差的模为1，
即：
结合已知条件可知：
向量的终点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，由圆的性质可得最大值为.
例13.（2020高考江苏卷13题）
在中，在边上，延长到,使得,若 (为常数)，则的长度为 .
解：（如图）建立如图示平面直角坐标系，
三点共线
又
由三点共线
,
的轨迹是以A为圆心，3为半径的圆，
所以，满足题意的D点是圆A与线段BC 的交点，
由得或.
第六类型：立体几何中的“隐圆”。
例14.（2022年解题达人选填版）
在四棱锥P-ABCD中，平面,,点是矩形内（含边界）的动点，且,直线与平面所成的角为，记点的轨迹长度为，则的值为 .
解：（如图）因为平面且直线与平面所成的角为，
所以点M的轨迹是以点A 为圆心，以2为半径的圆落在矩形ABCD内（含边界）的部分，
即图中的圆弧EF,
所以 .
例15.在正方体中，,是的中点，是底面所在平面内一动点，设与底面所成角分别为（均不为0），若，则三棱锥的体积的最小值为 .
解：（如图）
因为，所以 ，
即：,
在平面ABCD内，以A为原点建立如图示平面直角坐标系，则
设
所以P的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，于是，点P到直线BC的距离的最小值是3-2=1，即点P到平面的距离的最小值为1.
所以三棱锥的体积的最小值为.
以上是我这几年的教学工作中，总结出来的解决隐圆问题的几类有效方法，当然还可能存在很多不完善不周到之处。那将成为我接下来教研工作的一部分，我将不断地努力，不断地学习和总结，继续完善我的教研工作，继续寻找各种有效的解题策略和方法，再和大家分享。同时，欢迎大家指正并提出宝贵的意见和建议。
